María Dolores Mira Gómez de Mercado - Antonio García Megía


Los números fraccionarios

 

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Introducción

 

 

 

Se denomina número fraccionario a aquel que representa a una o varias partes iguales en las que se ha dividido una, o más, unidades enteras.  Consta siempre de dos términos que se suelen presentar en forma de dos cifras colocadas una sobre otra y separadas por una línea.

 

 

 

 

 

En número inferior, denominador, indica el número de partes en que se ha dividido cada unidad entera. El superior, o numerador, informa de los fragmentos de unidad que se consideran: se han tomado cuatro partes de las seis obtenidas al fragmentar la unidad entera.

Un número fraccionario es la forma de expresar de manera exacta el resultado de un cociente inexacto que tiene como dividendo el  numerador y como divisor al denominador.

El ejemplo utilizado será el resultado exacto de la división 4:6.lectura de números fraccionarios

Los números fraccionarios, o fracciones. Se leen enunciando primero el numerador como un número entero y luego el denominador como un número partitivo. En el caso del ejemplo:

 

Cuatro sextos

 

 Lectura de los números fraccionarios

Partitivos

Partes realizadas

Lectura del denominador

2

Medios

3

Tercios

4

Cuartos

5

Quintos

6

Sextos

7

Séptimos

8

Octavos

9

Novenos

10

Décimos

11

Onceavos

12

Doceavos

13

Treceavos

14

Catorceavos

15

Quinceavos

16

Dieciseisavos

17

Diecisieteavos

18

Dieciochoavos

19

Diecinueveavos

20

Veinteavos

30

Treintavos

 

 

 

 

Clases de números fraccionarios

 

 

Fracciones propias

 

Son aquellas que representan una cantidad inferior a la unidad. Se reconocen porque el denominador es mayor que numerador.

 

 

 

Fracciones impropias y números mixtos

 

Son aquellas que representan una cantidad superior a la unidad. Se reconocen porque el denominador es menor que numerador.

 

 

Pueden tomar la forma de número mixto. Se denominan así aquellos números fraccionarios que constan de una parte entera y un número fraccionario. En el ejemplo, como resulta evidente:

 

 

Para transformas una fracción impropia en número mixto se divide el numerador entre el denominador. El cociente resultante corresponde a la parte entera de la forma mixta, el resto de la operación se sitúa en el numerador y como denominador se mantiene el que había, es decir el divisor.

 

 

Al dividir 7:3 se obtiene:

Cociente = 2

Resto = 1

 

De manera análoga un número mixto puede tomar la forma de fracción impropia. Para ello se multiplica la parte entera por el denominador y se suma al producto el numerador. El resultado es el nuevo numerador. El denominador es el mismo. En el caso anterior:

 

 

Entero  = 2

Denominador = 3

Numerador =1

 

2 · 3 = 6

6 +1= 7        Se sitúa como numerador

Se mantiene 3 como denominador

 

 

Fracciones homogéneas

 

Se llaman homogéneas a las fracciones que muestran el mismo denominador:

 

 

Fracciones aparentes

 

Se llaman así a los números fraccionarios que realmente representan unidades completas. Si se hacen cuatro partes de algo y se hacen referencia a esas cuatro partes, en realidad, se estará aludiendo a la totalidad del objeto o cantidad. En realidad, son fracciones que representan  divisiones exactas. Por eso, convertir una fracción aparente en un número entero es tan sencillo como dividir el numerador entre el denominador. El resto siempre es 0.

 

 

 

Asimismo, cualquier número entero puede tomar la forma de fracción con denominador 1:

 

 

 

Fracciones equivalentes

 

Son aquellas que representan a la misma cantidad a pesar de utilizar términos diferentes:

 

 

 

 

Fracciones decimales

 

Son un caso especial de número fraccionario. Se denomina fracción decimal a la que tiene como denominador la unidad seguida de ceros, es decir. Cualquiera de las potencias de 10. Es más común utilizarlas en su formato de número decimal que con la forma característica de un quebrado.

 

             

La lectura de los quebrados decimales varía ligeramente de la regla general de lectura apuntada con anterioridad:

 

Fracciones decimales

Partes realizadas

Lectura del denominador

10

Décimas

100

Centésimas

1.000

Milésimas

10.000

Diezmilésimas

100.000

Cienmilésimas

1.000.000

Millonésimas

 

Para convertir un número decimal en fracción común se opera de la siguiente forma:

·      Numerador: El número completo considerado como entero, es decir, prescindiendo de la coma decimal.

·      Denominador: La unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el número.

 

 

 

Propiedades de los quebrados

 

·         De dos o más quebrados con el mismo denominador es mayor el que presenta mayor numerador.

 

                      

·         De dos o más quebrados con el mismo numerador es mayor el que presenta menor denominador.

 

                       

·         Si el numerador de un quebrado se multiplica por un número, el valor que representa el quebrado queda multiplicado por ese número. Esta propiedad posibilita que para multiplicar un entero por un quebrado se multiplique el numerador y se mantenga el mismo denominador.

 

 

·         Si el numerador de un quebrado se divide por uno de sus divisores, el valor que representa el quebrado queda dividido por el mismo número.

 

 

·         Si el denominador de un quebrado se multiplica por un número, el valor que representa el quebrado queda dividido por ese número.

 

·         Si el denominador de un quebrado se divide por uno de sus divisores, el valor que representa el quebrado queda multiplicado por ese número.

 

·         Si el numerador y el denominador de un quebrado se multiplican o dividen por un mismo número el valor que representa el quebrado no se altera. Esta propiedad es fundamental para la simplificación o amplificación de fracciones y la reducción de quebrados a común denominador.

 

 

 

La simplificación de fracciones

 

 

La simplificación de fracciones busca su transformación en otras equivalentes pero con los términos más pequeños que facilite los cálculos. Cuando no es posible más simplificación se ha alcanzado la fracción irreducible.  Todo quebrado cuyos dos términos son números primos entre sí, es irreducible.

Para simplificar una fracción se han de dividir ambos términos, sucesivamente, entre todos los factores comunes al numerador y al denominador.

 

   

Dividiendo ambos factores entre 5

 

El método más eficaz para simplificar fracciones, especialmente si se opera con cifras elevadas, consiste en dividir numerador y denominador entre el m.c.d. de sus valores.

 

 

90 = 2 · 32 · 5

1350 = 2 · 33 ·· 52

m.c.d. (90, 1350) = 2 · 9 · 5 = 90

 

90 : 90 = 1

1350 : 90 = 15

 

 

 

 

 

Reducción de quebrados a un común denominador

 

 

Reducir varias fracciones a un denominador común es buscar otras equivalentes que tengan el mismo denominador. Se basa en la aplicación de la propiedad, ya enunciada,  que decía: “Si el numerador y el denominador de un quebrado se multiplican o dividen por un mismo número el valor que representa el quebrado no se altera”. Es imprescindible para efectuar determinados cálculos con este tipo de número.

 

 

Método tradicional

Se multiplican los dos términos de cada fracción por el producto de los denominadores de todas las demás.

 

 

Reducción a común denominador

 

 

Resultado final

 

Método del “m.c.m.”

Se calcula el m.c.m. de todos los denominadores. Será el denominador común. Cada nuevo numerador se determina multiplicando el original por el resultado de dividir el m.c.m. entre el denominador correspondiente.

 

 

Cálculo del m.c.m de todos los denominadores

4 = 22

3 = 3

8 = 23

10 = 2 · 5

m.c.m (4, 3, 8, 10) = 8 · 3 · 5 = 120

 

Reducción a común denominador

 

 

 

 

Resultado final

 

 

 

Operaciones con números fraccionarios

 

 

 

Adición de fracciones

 

Caso 1: Todas las fracciones tienen el mismo denominador

Si las fracciones son homogéneas, es decir, tienen un mismo denominador, se suman los numeradores y se mantiene el mismo denominador.

 

 

 

 

Caso 2: Las fracciones tienen diferentes denominadores

Si las fracciones no son homogéneas, es decir, tienen diferente denominador, se reducen primero a común denominador y se opera con los quebrados equivalentes obtenidos como en el caso anterior.

 

Procedimiento tradicional:

 

 

 

Procedimiento m.c.m.

 

Cálculo m.c.m. de los denominadores

5 = 5

4= 22

8= 23

 m.c.m. (5, 4, 8) =  23 · 5 = 40

 

 

 

 

Comparativa de resultados de ambos procedimientos

 

 

 

 

Caso 3: Algún número fraccionario se presenta en formato de número mixto

Si alguno de los sumandos es un número mixto se procede ante todo a su transformación en fracción impropia. Después se sigue el procedimiento descrito en el caso anterior.

 

 

Transformación de números mixtos en fracciones impropias

 

 

Resulta:

 

Cálculo m.c.m. de los denominadores

4= 22

6 = 2 · 3

7= 7

 m.c.m. (4, 6, 7) =  22 · 3 · 7 = 84

 

 

 

 

Sustracción de fracciones

 

Caso 1: Todas las fracciones tienen el mismo denominador

Si las fracciones son homogéneas, es decir, tienen un mismo denominador, se restan los numeradores y se mantiene el mismo denominador.

 

 

Caso 2: Las fracciones tienen diferentes denominadores

Si las fracciones no son homogéneas, es decir, tienen diferente denominador, se reducen primero a común denominador y se opera con los quebrados equivalentes obtenidos como en el caso anterior.

 

Procedimiento tradicional:

 

 

Procedimiento m.c.m.

 

Cálculo m.c.m. de los denominadores

10 = 2 · 5

24 = 23 ·3

m.c.m. (10, 24) =  23 · 3 · 5 = 120

 

 

 

 

Comparativa de resultados de ambos procedimientos

 

 

 

Caso 3: Algún número fraccionario se presenta en formato de número mixto

Si alguno de los términos es un número mixto se procede, ante todo, a su transformación en fracción impropia. Después se sigue el procedimiento descrito en el caso anterior.

 

 

Transformación de números mixtos en fracciones impropias

 

 

Resulta:

 

Cálculo m.c.m. de los denominadores

4= 22

5=5

m.c.m. (4, 5) =  22 · 5 = 20

 

 

 

Multiplicación de fracciones

 

Caso 1: Producto de una fracción por un entero

Se multiplica el entero por el numerador y se mantiene el denominador.

 

 

 

Caso 2: Producto de varias fracciones

Numerador del producto: Resultado de multiplicar entre sí todos los numeradores.

Denominador del producto: resultado de multiplicar entre sí todos los denominadores.

 

 

Caso 3: Algún factor se presenta en formato de número mixto

Si alguno de los factores es un número mixto se procede a su transformación en fracción impropia. Después se sigue el procedimiento descrito en el caso anterior.

 

 

Transformación de números mixtos en fracciones impropias

 

 

Resulta:

 

 

División de fracciones

 

Caso 1: División de un entero entre una fracción

Se multiplica el entero por el denominador de la fracción situando en resultado como nuevo numerador. El numerador inicial pasa a ser denominador del cociente.

 

 

 

Caso 2: División de una fracción entre un entero

Se mantiene el mismo numerador. El denominador será el que resulte de multiplicar el  denominador de la fracción por el entero.

 

 

 

Caso 3: División de una fracción entre otra fracción

Numerador del cociente: Resultado de multiplicar el numerador del primero (dividendo), por el denominador del segundo (divisor).

Denominador del cociente: Resultado de multiplicar el denominador del primero (dividendo), por el numerador del segundo (divisor).

 

 

 

Importante: En el supuesto de que alguno de los términos tenga la forma de número mixto, se obtendrá la  fracción impropia equivalente de este y se operará a continuación del modo aquí descrito.

 

 

                                                                                                        

Potencia de una fracción

 

Para elevar un número fraccionario a una potencia se elevan numerador y denominador a dicha potencia.

 

 

 

 

               

 

 

   

 

 

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