María Dolores Mira Gómez de Mercado - Antonio García Megía


Ecuaciones

Segundo Grado

 

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Algunos problemas de ecuaciones razonados y resueltos. Imprimible

 

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Introducción:

 

 

Se denominan ecuaciones de segundo grado a aquellas en que la incógnita aparece elevada a la segunda potencia como mayor exponente.

 

 

Las ecuaciones con una incógnita, una vez preparadas, solamente pueden tener tres términos: termino con la incógnita elevada al cuadrado (ax2), término con la incógnita elevada a la primera potencia (bx), y término numérico independiente (c).

 

 

Se dice de la ecuación completa, cuando constan los tres términos anteriores, e incompleta si falta la incógnita en grado 1, el término independiente, o ambos. Son incompletas:

 

 

Antes de resolver una ecuación de segundo grado es preciso prepararla hasta alcanzar la forma:

 

 

El proceso pasa las siguientes fases:

 

 

 

 

En este caso concreto, al ser todos los miembros divisible entre 2, puede simplificarse la ecuación quedando definitivamente  así:

Es importante advertir que las ecuaciones de este tipo, salvo casos excepcionales,  tienen dos soluciones correspondientes a los signos + y -.

 

 

 

Resolución:

 

ecuaciones incompletas

 

Tipo 1:  

 

Despejando la incógnita


Extrayendo la raíz cuadrada de ambos miembros:

 

Tipo 2:

Pasando c al segundo miembro:

 

Despejando la incógnita:

 

Extrayendo la raíz cuadrada de ambos miembros:

 

Soluciones:

Extrayendo la raíz cuadrada de ambos miembros:

 

Ecuaciones completas

 

Las ecuaciones de segundo grado completas se resuelven siempre aplicando la siguiente fórmula:

 

 

Que produce las dos soluciones:

 

 

 

Justificación:

 

 

Pasando c al segundo miembro:

 

Multiplicando ambos términos por 4a se obtiene la igualdad equivalente:

 

Sumando b2 a ambos miembros de la igualdad se obtiene la equivalente [1]:

 

El primer miembro se corresponde con el desarrollo del cuadrado de una suma  

 

En este caso:
 

 

Sustituyendo en [1] queda:

 

Hallando la raíz cuadrada de ambos miembros:

 

Trasponiendo el coeficiente b:

 

Despejando la incógnita:

 

 

 

Algunas ecuaciones resueltas

 

Advertencia: Alcanzar las soluciones para las ecuaciones de este tipo precisa el dominio de ciertas habilidades básicas de cálculo.

 

 

Ecuación 1

 

 

Quitando denominadores:

 

 

Trasponiendo términos:

 

 

Reduciendo términos:

 

 

soluciones

Ecuación tipo

 

 

 

Ecuación 2

 

 

Trasponiendo términos y reduciendo:

 

 

soluciones

Ecuación completa

 

 

 

Ecuación 3

 

Trasponiendo términos y reduciendo:

 

soluciones

Ecuación completa

 

 

 

  

Ecuación 4

 

 

Quitando denominadores

 

 

Trasponiendo términos y reduciendo:

 

soluciones

Ecuación completa

 

 

 Ecuación 5

 

Quitando paréntesis:

 

Trasponiendo términos y reduciendo:

 

soluciones

Ecuación completa

 

 

 

  

Algunos problemas razonados y planteados

 

Problema 1

Se incrementa un número en cuatro unidades y se disminuye también en cuatro unidades. Si se multiplican entre sí estos resultados se obtiene 609. ¿Cuál es el número original?

 

  

Planteamiento

 

Incógnita principal   

Número buscado = x 

 

 Datos conocidos:

Producto de ambos números =

        

Ecuación final: 

 

 

 

 

Problema 2

Se precisa encontrar las dimensiones de un rectángulo de 2520 m2 de superficie sabiendo que su longitud excede en 18 m a su anchura.

 

 

Planteamiento

 

Incógnita principal:           

Anchura del rectángulo = x 

 

Datos conocidos:    

 

Ecuación final: 

 

 

 

Problema 3

La diferencia entre dos números es 14. Si la suma de sus cuadrados asciende a 436, ¿de qué números se trata?

 

Planteamiento

 

Incógnita principal:

Numero mayor = x 

 

Datos conocidos:

 

Ecuación final: 

 

 

 

Problema 4

El área de un rectángulo es de 1000 m2. Si su perímetro mide 140 m, ¿cuáles son sus dimensiones?

 

Planteamiento

 

Incógnita principal:

Lado a = x 

 

Datos conocidos:

 

Ecuación final: 

 

 

 

 

Problema 5

La altura de un triángulo mide la tercera parte de la longitud de su base. Si el área del triángulo es de 4225 m2, ¿cuánto mide su base?

 

Planteamiento

 

Incógnita principal:

Base = x 

 

Datos conocidos:

 

 

 

Ecuación final: 

 

 

   

 

 

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